噢，上帝，为什么二加二等于四？
——亚历山大·蒲柏
罗霁：据说在5楼新开了一家书店是吗？
贝仑：是啊。
罗：那我可要去看看。
贝：好，我们现在在2楼，再往上走3层扶梯就到了……
罗：为什么？
贝：……什么为什么？
罗：我问为什么再走3层扶梯就到了？
贝：……因为现在是2楼啊。
罗：我问的是为什么在2楼往上走三层楼才是5楼？
贝：这……因为……因为2+3=5啦！好啦快走快走，真后悔刚才纵容你吃得那么撑……
罗：是吗？我不管了，反正跟着你走好了。
贝：一层……两层……咦！
罗：你看，果然是一间大书店，不过没啥好书，我们回去吧。
贝：呃……我记得刚刚从3楼上来……这里是5楼……
罗：嗯，很简单，这说明，你之前说错了，或许是2+2=5才对。
贝：啊，我知道了，这里只是为了避讳而已，因为4的读音不吉利，所以3楼上面就是5楼。
罗：总之是2+2=5对吧？
贝：不是不是！
罗：那么难道是3+1=5？
贝：我说了是因为这里避讳没有标4楼！楼层的数字只是个标记而已！驴子都知道2+2=4！
罗：究竟为什么2+2=4？就因为这是驴子们的意见？
贝：天哪……因为所有心理正常的人都是这样认为的！
罗：我听说，曾几何时，几乎所有心理正常的人都认为地球是静止的……
贝：那当然是错误的！因为科学在进步！
罗：所以2+2……
贝：那不一样！！
罗：别激动，我正听着。
贝：呼……确实有些理论是相对的真理，但也有些东西是如此显而易见……
罗：科学的发展经常会颠覆那些显而易见的常识不是吗？
贝：我知道，但2+2=4是数学……
罗：但数学也会进步，听说从正整数，有理数，无理数，负数，复数……
贝：好吧，今天我奉陪到底了。呃，首先吧，1、2、3、4是“自然数”……
罗：嗯，你终于开始认真起来了。什么是“自然数”呢？
贝：自然数就是1、2、3、4、……
罗：咳……
贝：好好，我知道混不过去：自然数就是人们数数时产生的，用来表示物体个数的数叫做自然数，
罗：数数？
贝：比如说这里有1本书，2本书，……
罗：嗯，这本是陈波的《逻辑哲学》，挺好；这本是《悖论研究》，翻了几页就晕了……
贝：我只是随便拿了两本书，没什么特别的意思。
罗：我想说的是：这本和那本是不一样的东西，你怎么把它们混在一起？
贝：……
罗：比方说，这里有一只左手手套，这里有一只右手手套，然后这里是一副手套……
贝：哈！一副不就是2只吗？
罗：是吗？那么1杯水，1勺糖……
贝：你要说1杯糖水是吧？这些文字游戏都不算数的，我们说1+1时并不是说一个什么加另一个什么，数字是抽象的，超越具体的事物的……
罗：对不起，请你说得通俗些，你知道我的语文不好，“抽象”这个词我不是很理解。
贝：就是说我把事物中的共性抽取出来！数学就是对事物最高度的抽象，当原始人开始意识到4根手指、4头野兽、4昼夜、4个人等等之间的共同属性时，数学就诞生了！
罗：这听起来真令人激动，但你还是没有回答我如何能把不同的东西算在一起。
贝：当我们把一些东西算在一起时，我们并不认为它们是不同的东西，我们只看它们的共性。
罗：就是说你把这两本书看成没有差别的？
贝：是忽略它们的差别。
罗：但如果没有差别的东西，不就是同一个东西吗？这里有一个你，这里还有一个也是你，加起来还是一个你……
贝：我只是说忽略差别！完全同一的当然不能叠加……
罗：那就是说数数时首先要针对不同的事物，但然后把它们看成相同的？
贝：差不多是这样。
罗：“差不多”？那么还有哪里差的？
贝：好吧……没错，是这样，数数就是这样的。
罗：但是，怎么分辨出你所说的“共性”呢？
贝：例如这两本书虽然不同，但它们都是“书”。
罗：我正是不明白“它们都是书”这一观念是怎么定出来的？
贝：书……这样的就是书：你看，有封面，有文字，把一叠纸装订起来……这叫1本书。
罗：虽然还是不太明白，但这很直观……嘿！别把书扯烂了！
贝：至于加法，就是说我们可以分别先对两堆对象计数，然后把抽象出的数目加起来，就相当于直接计数这两堆的东西。
罗：听起来真不错，比方说吧，这边有“○△ ○□”，那边有“◇◇ □△”，把它们放一块……
贝：这取决于你怎么个数法！这可以理解为1+1，2+2，4+4……
罗：嗯，取决于怎么数……你看我这样数行不行：这边有○△□是几种形状来着？
贝：3种！
罗：哦，嗯，3种形状，那边有◇□△也是3种吧？
贝：对。
罗：3+3=？
贝：6！
罗：好，然后……
贝：停！我知道你的阴谋了！不能这样加！
罗：我数出来“○△ ○□”里头有3种形状没错吧？
贝：那当然……但是你在将两组符号合在一起时应当重新算！
罗：数目是从具体事物中抽象出来的不是吗？
贝：是，我说过。
罗：那么我从“○△ ○□”里抽象出了个“3”，从“◇◇ □△”中也抽象出了个“3”，而且是按照同样的方式抽象的，现在你又说不能做加法。那么这种抽象的加法究竟有什么用呢？
贝：你这是在狡辩，别急，让我想一想……
罗：现实的事物都要比“○△ ○□”复杂多了！
贝：我想通了！其实早说到了，同一的东西不能叠加，只有看作相同的东西才能加。这里△和□按照你的数法是同一的，但在合并起来时你又把它们算了两遍……
罗：你是说因为要避免对同一个东西重复计数，所以先要看一看所有东西之间有多少重复的吧？
贝：是的，要避免重复计数。
罗：也就是说，还不如直接把所有的东西数一遍？
贝：不是这样的……我们在把一堆东西分割成部分计数求和的时候事先就要避免划分的重叠。相加的各部分是各自独立的。例如这本书要2块钱，那本书要3块钱，加起来一起买下就是5块钱。
罗：哦，这么说加法还挺有用。
贝：那当然！
罗：这样看我更要搞明白为什么2+3=5了，否则花了冤枉钱就不好啦！
贝：你难道真的怀疑2+3=5吗？
罗：我也觉得2+3=5，但天知道呢，或许事实上2+2=5，但有一个魔鬼总是让所有的人都产生了错觉……
贝：那是笛卡尔的狡辩……不要说根本没有魔鬼，即便有魔鬼它也要讲逻辑！
罗：好吧，不说魔鬼，我们的感觉都是受到身体和大脑构造限制的不是吗，我们能区分颜色，但多数动物都不能，不过有些昆虫能看到紫外线……
<p >贝：是这样。
罗：你几乎不可能向一位天生的盲人解说颜色是什么。
贝：确实很难。
罗：你说的那种“逻辑”是否也受限于我们的大脑构造，以至于我们无法理解2+2=5的逻辑，就像盲人无法理解颜色那样？
贝：好吧，无论2+2=4是不是取决于我们的大脑，但它是客观必然的，是先验的真理！
罗：我希望你能讲得通俗些，你说的“先验”是不是先于经验的意思？也就是说脱离开具体的事物就可以判断2+2=4是对的？
贝：是这样。
罗：但我看到2+2=4时，左边是2、+、2三个符号，其中并不包涵有4啊。一点都不直观！
贝：2和4都是人为规定的符号，这边是“··”“··”的话，你把它们合起来，就成了“····”。
罗：你是说2这个符号代表“··”，4代表“····”？
贝：对。
罗：按这样看来2+2或许很直观，但1243+4364之类的就不容易感觉出来了。
贝：1243+4364的原理与2+2是一样的，1243+4364还是自然数，仍然遵守加法的规则。
罗：为什么是自然数就都遵守加法的规则呢？
贝：因为可以证明加法的规则是对全体自然数而不是个别的自然数定义的。
罗：加法的规则是定义出来的？
贝：嗯……当然，最早的加法的概念只是直观朴素的，不过在公理化运动之下，数学家对自然数和加法等等都给出了严格的定义。
罗：是啊，我听说数学是一门极其严格的学科。你能不能介绍得清楚些，先从自然数说起吧，自然数的严格定义是什么？
贝：好吧，首先：有“一”，“一”是一个自然数。
罗：嗯。
贝：如果x是一个自然数，那么x的后继者也是一个自然数。
罗：听着有点晕。后继者？“···”的后继者是“····”？
贝：具体标记形式先不用管，反正让我们先把整个“自然数”定义出来。
罗：好。
贝：“一”是最小的自然数，也就是说，“一”不是任何自然数的后继者。
罗：这些是定义？
贝：这些都是为了定义出自然数，同时推导出算术法则的基本公理。
罗：嗯，继续说。
贝：还有，如果两个自然数具有相同的后继者，则它们相等。
罗：这可以理解，不过是不是有点多此一举？
贝：这条公理的意思是每个数都有且仅有唯一的一个相应的后继者。同时提供了判定相等的严格法则。
罗：哦。这样就把全体自然数都定义出来了？
贝：别急，还有一条：若一组数包含数“一”且包含其成员的所有后继者，则这组数包含所有的自然数。这是归纳定义的封闭条件。
罗：归纳定义？
贝：就是给出一个或几个初始元素，然后给出通过某一个或某几个已定的元素“生成”下一个元素的方法，最后再补充规定我所定义的元素只能由这样的步骤生成，这样就完成了归纳定义。
罗：但你只是给出了一个接一个找的方法，并没有完成对所有元素的构造，这样的构造永远也完不成。
贝：好，没错，数学归纳法确实是非构造的，我知道有一些直觉主义者的人对数学归纳法和反证法的运用进行了质疑和限制，还有人提出一整套直觉主义逻辑……
罗：哦，我和他们不熟。不过他们真勇敢，我只是嘴上说说罢了，他们还真的那么干起来了？
贝：对，他们的工作是很有价值的，但你不觉得他们太钻牛角尖了吗？而且我们现在只是在说2+2的问题。
罗：对不起，是我打岔了，那么这个问题先放着吧，你继续讲刚才的皮亚诺算术。
贝：天哪！闹了半天原来你早就知道！或许是错觉……我总感觉你好像是在耍我玩……
罗：轻松点。我确实听说过皮亚诺的算术公理，据说可用来推导出算术的所有定理。但我不明白才问你呀，我哪有你懂得多啊，我总是听你的话不是吗？继续吧，说说加法？
贝：好……自然数的加法是指这样的对应：对于每一对自然数a、b，有且仅有一个自然数（记为a+b）与之对应，且具有下列性质：（1）对任意自然数a，a+1=a＇（a＇表示a的后继）；（2）对任意自然数a、b，a+b＇=（a+b）＇，其中a、b称为加数，a+b称为a、b的和。
罗：嗯，这也是个归纳定义。
贝：好，现在我们就可以证明2+2=4了。
罗：我知道了，1是最小的，2是1的后继者，3是2的后继者，4是3的后继者，对吗？
贝：对，这些数字就是这样被规定的。
罗：按照加法的定义，我们知道1+1=2，2+1=3，3+1=4。
贝：对！
罗：也就是说，要证明2+2=4就只要证明2+2=3+1就行了？
贝：就是这样！你的聪明如果少用点在钻牛角尖上就好了……
罗：哪些事叫钻牛角尖呢？
贝：对不起，是我打岔了。好，你看：3=2+1。所以3+1=2+1+1，而其中1+1=2，所以3+1=2+2。
罗：慢点！你是说(2+1)+1=2+(1+1)？
贝：对，这是加法结合律……
罗：这……
贝：唉，我知道，我们先来证明加法结合律……
罗：我听着呢。
贝：好，我给你一个最最严谨的证明： 设a、b是给定的两个自然数，令集合M=｛c | a+（b+c）=（a+b）+c｝ 由于（a+b）+1=（a+b）′=a+b′=a+（b+1），所以1∈M. 若c∈M，即（a+b）+c=a+（b+c），则： a+（b+c′）=a+（b+c）′=（a+（b+c））′=（（a+b）+c）′=（a+b）+c′ 于是，c′∈M 根据归纳公理，M=N （自然数集），再由a、b的任意性知a+（b+c）=（a+b）+c成立.
罗：这看起来确实很严谨。其中的“集合M”是什么意思呢？
贝：啊，因为皮亚诺的公理一开始还是挺直观的，直到后来借用集合论的语言来表述时才真正变得无可挑剔地严谨……
罗：证明这个最基本的定理都离不开集合，看起来集合的概念对数学是很重要的。
贝：对，很重要。
罗：我更想搞清楚“集合”究竟是什么意思了。
贝：好，集合简单地说就是一堆东西的总体，这些东西是任意的，例如这本书，数字2，或者另一个集合等等，任何一个东西要么属于这个集合要么不属于，集合由它的元素唯一地确定……
罗：嗯，集合M={c | ……}是什么意思？
贝：这是表示集合的描述方法，表示集合的一种方式是列举法，把所有的元素罗列出来，比方说{1，2，3}，但这只适用于有限集合。而描述法形如{x | x具有性质P}。
罗：任何性质都可以？
贝：是啊，比如{x | x是自然数}，{x | x是偶数}，等等。
罗：嗯，那么{x | x是不属于自身的集合}……
贝：天哪，我还是觉得这些你都早就知道了！
罗：轻松点，只是突然想起在那本《悖论研究》里看到的，我早告诉过你我翻了几页就晕了，啥都没看懂。你倒是读了半天，给我讲讲吧。
贝：好，这就是罗素悖论，在1902年，弗雷格完成《算术基础》第二卷的时候……
罗：停！
贝：你不是让我讲讲么……
罗：这些无关紧要，我只想问：这是不是说明集合论有毛病？
贝：这……确实是……
罗：所以你刚才证明加法结合律的所谓最最严谨的证明是也有毛病的啦？
贝：但集合论的问题还不至于破坏加法结合律吧……总之，对罗素悖论也有许多解 决方案……
罗：许多方案？这么说还不止一种？
贝：是啊，有类型论方案、ZF方案、NBG方案、NF和ML系统、直觉主义方案、多值逻辑方案等等。
罗：你只要告诉我，究竟哪一个是正确的？
贝：这个……因为它们都是不同的公理系统，认可的公理不一样，又是从不同的角度来解决悖论，所以……
罗：所以它们都是对的？这和说它们都是错的有什么分别？
贝：不能这样说吧……
罗：你看蒯因的那个NF系统的公理：(A|(B|C))|(( D→D)|((D|B)→(A|D)))——这算什么？
贝：这确实看不出什么直观意义，但为了逻辑系统的简洁……
罗：也就是说，他们设立公理的时候并不是考虑公理本身是否显明，而只看重从它所导出的东西？
贝：确实是这样。
罗：有些公理之所以被设定也仅仅是为了消除悖论。
贝：看起来的确如此。
罗：另一些公理的设定也仅仅是为了保证得出他们想要的结果，比如说保证2+2=4？
贝：一套包含自然数的公理体系当然必须保证2+2=4，否则就乱套啦！
罗：你看，我现在想知道为什么2+2=4，然后你拿出一套公理体系，不，还不止一套公理体系，给我证明出2+2=4。但这些公理体系的建立本来就是为了迎合2+2=4的！
贝：……
罗：而且，我还听说只要是包含那套皮亚诺算术的公理相容的逻辑系统要么是不一致的，要么是不完全的。
贝：对，这是哥德尔的不完全性定理。
罗：所以说，那套算术系统看起来并不十分可靠……
贝：没有人会怀疑初等数论是不一致的！！
罗：但也没有人能证明它一致不是吗？
贝：但是……如果2+2不等于4，就会导致混乱……
罗：怎么导致混乱呢？
贝：比如吧，2+2=5，而我知道2+2＝4，故5=4。等式两边减一减一再减一，等量减等量，余数相等，故又得2=1。而人们知道，我和你是2个人，所以我和你是1个人。
罗：罗素当时只是随口说着玩罢了，这推理到处都是问题。比如说，为什么不怀疑你知道的2+2=4是错的？
贝：……
罗：这样吧，我们来定义一种新加法“+’”看看。
贝：哦？
罗：定义A+’B=A+B+1。
贝：就这么简单？
罗：对啊，这样就有2+’2=5啦。当然，相应地新减法定义为A–’B=A-1-B。
贝：但你这个“新加法”是靠老加法定义出来的！
罗：那又怎样？
贝：加法是最直观和最基本的，你只不过是玩了个“定义新运算”罢了，并没有什么新意。
罗：我想说的是：凭什么认为老加法是基本的？因为我们同样可以用新加法来定义老加法：定义A+B=A+’B–’0。这两种加法是可以互相定义的。
贝：你的意思是？
罗：或许在另一种民族，或者另一种生物那里，2+2=5才是最直观的印象，他们认为2+2=4的这种加法才需要靠“定义新运算”才能理解，没有这种可能吗？
贝：我不知道……但这很荒唐……我真的不知道……
罗：我想你应该承认你没法子向我证明2+2=4。
贝：好吧，我承认，我无能为力。
罗：不必丧气，反正我也没法子向你证明2+2=5。
贝：唉，总而言之先回家再说吧，希望离开了这个没有4楼的4楼后大家都会变得正常些。
罗：你刚才说什么？我似乎听到某个有趣的说法。
贝：没什么！我是说和你聊天真有意思。再见！
罗：再见！
2006年8月1日
2007年11月29日修订
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